| Problema 1 Partendo dalla definizione di parabola come luogo dei punti del piano equidistanti da un punto F (fuoco) e da una retta d (direttrice) costruire con Cabri una parabola con direttrice e fuoco assegnati, utilizzando lo strumento LUOGO. Creare una macro per questa costruzione. soluzione | Problema 2 Utilizzando la proprietà degli incrementi Dy proporzionali ai numeri dispari, costruire con Cabri una parabola con direttrice e fuoco assegnati, utilizzando lo strumento CONICA. Costruire in modo analogo con Cabri una parabola di cui sono noti il vertice, l’asse ed un punto. Creare due macro per queste costruzioni. soluzione |
| Problema 3 Data una parabola di fuoco F e direttrice d ed un punto H di d, dimostrare che l’asse a di FH è tangente alla parabola nel punto P di intersezione di a con la normale alla d in H. soluzione | Problema 4 Data una parabola ed una sua tangente in un suo punto P, detta A la proiezione di P sull’asse della parabola, detta B l’intersezione della tangente con l’asse, e detto V il vertice della parabola, dimostrare che AV è congruente a BV (riferirsi alla costruzione che risolve il Problema 1). soluzione |
| Problema 5 Sono assegnati vertice, asse di simmetria e una tangente ad una parabola. Costruirne il fuoco F della parabola. soluzione | Problema 6 Dato il fuoco F, l’asse a ed un punto P di una parabola, costruire la direttrice d e il vertice V della parabola. soluzione |
| Problema 7 Dimostrare che la perpendicolare all’asse di una parabola condotta dal suo vertice V è il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte dal fuoco alle tangenti. Tale luogo è chiamato podaria. soluzione | Problema 8 Dimostrare che la tangente in un punto P di una parabola divide a metà il segmento di podaria delimitato dal vertice V della parabola e dalla proiezione Q di P sulla podaria stessa. soluzione |
| Problema 9 Sfruttando la podaria costruire fuoco F e direttrice d di una parabola di cui sono noti il vertice V, l’asse a ed un suo punto P. soluzione | Problema 10 Uno specchio piano riflette un raggio luminoso in modo che l’angolo di incidenza del raggio luminoso (l’angolo formato dal raggio e dalla superficie riflettente) è uguale all’angolo di riflessione formato dalla superficie riflettente e dall’angolo riflesso. Nel caso di specchi curvi tali angoli sono formati dai raggi luminosi e dalla tangente alla superficie riflettente. Mostrare che i raggi incidenti su uno specchio a sezione parabolica e paralleli al suo asse vengono riflessi nel fuoco della parabola. soluzione |
| Problema 11 Progettare con Cabri il leggendario specchio ustore di Archimede, essendo dati a piacere: la pendenza dei raggi solari rispetto l’orizzonte, la posizione delle mura di Siracusa, su cui edificare lo specchio, la posizione delle navi degli assedianti. soluzione | Problema 12 Sfruttando le proprietà della podaria, costruire le tangenti ad una parabola assegnata (quindi sono noti Fuoco e direttrice) spiccate da un assegnato punto P esterno ad essa. soluzione |
| Problema 13 Sfruttando la costruzione del problema 12, dimostrare che se da un punto P della direttrice spicco le tangenti alla parabola queste sono perpendicolari; in altre parole, dimostrare che i punti della direttrice vedono la parabola sotto un angolo retto (proprietà ortottica della direttrice). soluzione | Problema 14 Dimostrare che se spicco da un punto della direttrice le tangenti ad una parabola, i punti di contatto delle tangenti con la parabola sono allineati con il fuoco. soluzione |
| Problema 15 Costruire una parabola di cui sono noti il fuoco F e due tangenti (N.B.: non sono noti i punti di tangenza). soluzione A soluzione B | Problema 16 Detto P un punto della direttrice di una parabola di fuoco F e detti A e B i punti di tangenza delle tangenti alla parabola spiccate da P, mostrare che FP è medio proporzionale fra FA ed FB. soluzione |
| Problema 17 Assegnata una parabola di fuoco F e direttrice d mostrare che la circonferenza con centro in un punto P di d e passante per F è sempre tangente alla corda della parabola che ha per estremi i punti di tangenza T’ e T’’ delle tangenti spiccate da P alla parabola. soluzione | Problema 18 Siano P e Q gli estremi di una corda di una parabola allineati col suo fuoco F, e sia X il loro punto medio. Dimostrare che la sua proiezione X’ sulla direttrice d della parabola è tale che PQ è doppio di XX’. soluzione |