| Problema 1 Costruire con Cabri una ellisse, essendo noti i due fuochi e la somma delle distanze dal suo punto generico P da essi. soluzione A soluzione B soluzione C soluzione D | Problema 2 Con riferimento alla costruzione C del Problema 1, dimostrare che l’asse di F’’X è tangente alla ellisse. soluzione |
| Problema 3 E’ data una ellisse di fuochi A e B ed un suo punto generico P. Sia C il simmetrico di B rispetto a P, e D il simmetrico di B rispetto ad A. Dimostrare che C appartiene all’ellisse di fuochi B e D. Se 2a è la somma costante delle distanze di P da A e B, quanto vale la somma delle distanze di C da B e D nella seconda ellisse? soluzione | Problema 4 Assegnata una ellisse ed un suo punto, costruire la tangente ad essa. soluzione |
| Problema 5 Dimostrare che in una ellisse gli angoli formati dalle congiungenti i fuochi con un suo punto P e dalla tangente in P sono uguali. soluzione | Problema 6 A Mantova, nel palazzo Te, c’è una sala con un particolare soffitto tale che, se due persone sono poste in due punti speciali della sala possono bisbigliare eppure sentirsi distintamente, anche in presenza di altri rumori (ad esempio altre persone che parlano). Come potrebbe essere spiegato il fenomeno? soluzione |
| Problema 7 Dimostrare che la tangente in un punto P ad una ellisse di diametro focale 2a interseca sull’asse focale la tangente ad una circonferenza concentrica all’ellisse e di diametro 2a condotta da un suo punto Q intersezione fra la circonferenza e la perpendicolare da P al diametro focale. Visualizza l'enunciato soluzione | Problema 8 Sfruttando la proprietà del problema 7 dare una costruzione della tangente in un punto ad una ellisse alternativa a quella del problema 4. soluzione |
| Problema 9 Dati due punti F’ ed F’’, siano rispettivamente G’ e G’’ le cfr. di centri F’ e F’’ entrambe di raggio r (con r>F’F’’). Detto A un punto di G’ sia B l’intersezione con G’’, più prossima a F’, della retta per F’ parallela ad AF’’. Dimostrare che l’intersezione P fra AF’ e BF’’ appartiene all’ellisse di fuochi F’ ed F’’ e parametro a=r/2. (Da: Oriolo, Coda: Mathematica, Mondadori, Vol.1, p. 711, n. 155) soluzione | Problema 10 Una cfr. di centro C’ e raggio r’ è interna ad una cfr. di centro C e raggio r. Una terza circonferenza di centro C’’ e raggio r’’ è tangente alle altre due cfr. Dimostrare che C’’ descrive una ellisse di fuochi C e C’. Quanto vale il parametro a dell’ellisse? (Da: Oriolo, Coda: Mathematica, Mondadori, Vol.1, p. 711, n. 156) soluzione |
| Problema 11 Con riferimento al problema 10, costruire una cfr. tangente a due cfr. assegnate, di cui una è interna all’altra. soluzione | Problema 12 Il punto A è interno ad una cfr. di centro C e raggio r. Il punto P è il centro di una cfr. passante per A e tangente alla prima cfr. Dimostrare che P appartiene al una ellisse di fuochi C ed A. Quale è il valore del parametro a dell’ellisse? (Da: Oriolo, Coda: Mathematica, Mondadori, Vol.1, p. 711, n. 157) soluzione |
| Problema 13 Sono dati un segmento AB ed un suo punto interno C. Due ellissi aventi lo stesso parametro a hanno rispettivamente fuochi A, C e C, B. Costruire la retta alla quale appartengono i punti di intersezione delle due ellissi. (Da: Oriolo, Coda: Mathematica, Mondadori, Vol.1, p. 711, n. 159) soluzione | Problema 14 Dare una spiegazione per via sintetica della costruzione D del problema 1. soluzione |
| Problema 15 Il punto Q è il simmetrico del centro C di una ellisse rispetto ad un suo generico punto P. Quale è il luogo dei punti Q al variare di P sull’ellisse? soluzione | Problema 16 Detta H la proiezione del generico punto P di una ellisse di centro O sull’asse focale, e detta T l’intersezione della tangente all’ellisse in P con la retta cui appartiene l’asse focale stesso, dimostrare che il prodotto delle misure di OH e di OT vale come il quadrato della misura del semiasse focale. soluzione |